蒙特卡洛期权定价（期权定价）

今天给各位分享期权定价的知识，其中也会对蒙特卡洛期权定价进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在开始吧！

本文目录一览：

1、期权的定价方法
2、如何进行期权定价与交易
3、期权定价理论？期权定价理论有什么作用？
4、期权定价是什么?
5、期权定价是什么意思？
6、期权定价的方法有哪些

期权的定价方法

这是一个老题目了，在知乎里也有一些类似的问题，但总感觉所有回答都有所欠缺，所以希望在这里对所有的数值方法进行一个梳理。按照我个人的分类，期权定价的数值方法分为五个大类：解析解方法，树方法，偏微分方程数值解方法，蒙特卡洛方法，傅立叶变换方法。

1）解析解方法：

一个期权定价问题，其实就是根据已知的随机微分方程（SDE）模型，然后来求解关于这个随机过程函数表达式的过程。这也是为什么随机微积分和Ito lemma会是金融工程的核心知识之一，因为Ito直接告诉了我们一个随机过程的函数所满足的新SDE：

\rm{d}f(t, X_{t})=\frac{\partial f}{\partial t}\rm{d}t + \frac{\partial f}{\partial X_t}\rm{d}X_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2}\rm{d}[X, X]_t

然后，如果我们可以求出这个SDE的解析解，那么一个欧式无路径依赖期权的价格就是它在终值时刻折现的期望值。这就是一种期权定价的解析解方法，当然你也可以利用PDE来求解，由于Feynman Kac定理的存在，PDE和条件期望的答案会是一致的。

而这类方法的优点是显而易见的，一旦解析解存在，那么期权的价格公式计算速度就会非常之快，不论做拟合还是优化都会有效率上质的提升，而这类方法的缺点也很明显，那就是，对于大部分模型和大部分奇异期权，解析解未必存在。

2）树方法

之所以叫树方法而不叫二叉树，是因为我们也将讨论三叉树模型，但其实本质思想是一模一样的。

如果告知你了一个标的资产的波动率，那么你可以通过下述式子构造一个N段的二叉树的上下波动：

u = \rm{e}^{\sigma\sqrt{T/N}}, d = \rm{e}^{-\sigma\sqrt{T/N}}

然后利用逆推，来得到初始时刻的期权价格。

那么三叉树呢？首先要明白一个道理，除了满足了下列条件的三叉树模型(u是上叉，d是下叉，l是中叉)

其余的三叉树都是incomplete market。在其余的树模型下，我们只能做到super-replicate，而不能完成perfect hedge。而这独有的一种三叉树模型，也成为了最常用的树模型之一。或许有人好奇为什么有二叉树了，还有人使用更麻烦的三叉树。这是因为三叉树的收敛速度要高于二叉树。

那么树模型的优缺点又是什么呢？树模型有一个任何连续时间模型都无法取代的优点，那就是每一个定价，在树模型里，不论美式、欧式、路径依赖、奇异，通过Backward Induction Principle得到价格，永远都是伴随着显式对冲策略的。而在连续时间模型里，想获得连续时间对冲策略的这类问题，是一个倒向随机微分方程（BSDE）问题，有很多时候并不是那么好解决的，尤其是当期权有奇异或美式属性的时候。

另一方面，树模型缺点也显而易见，高维度问题树模型是不能解决的，所以对于多个标的资产的问题，尤其是具有相关系数的资产，我们只能诉之于他法。而从速度上来讲，树模型的收敛速度是要低于PDE方法的。

3）PDE方法

很多对于quantitative finance陌生的人也会听说过Black Scholes PDE。而实际上，不同的随机模型，都会对应不同的PDE。BS PDE只不过是单资产符合几何布朗运动随机模型的PDE表达罢了。因为对于期权，我们往往知晓它最终到期日的payoff，所以我们用payoff函数来作为这个PDE的终值条件。

如果PDE存在解析解，最优办法自然也是求解析解。然而，如果解析解不存在，我们就必须诉诸数值方法。最常用的数值解方法就是有限差分，也就是将所有变量构造一个网格，然后利用网格上的差分方法来估计偏导数，进而将PDE问题转化为代数问题。而对于期权定价的PDE，我们会根据期权的性质，获得这个PDE终值条件和边值条件。然而，有时候根据不同的模型，我们可能得到的并不是一个简单的PDE，而可能是PIDE（partial integral differential equation），也就是在PDE中多了积分项，这时候，我们需要同时再借助数值积分来完成数值计算。

PDE的数值问题自然还有很多的选择，有限元、谱方法都在列。但期权定价PDE本身并不像很多物理PDE有很大的非线性程度，边界也并没有那么奇怪，所以基本上有限差分是可以解决绝大部分问题的。

有限差分法分三种：显式差分，隐式差分，交错差分。我们不深入研究算法，但几个点就是：稳定性上，显式差分是条件稳定的，另外两种都是无条件稳定；计算复杂度上，显示最简单，隐式次之，交错最繁琐；精确性上，显式、隐式是同阶的，交错差分的特殊情形，显式和隐式各占一半时，也就是Crank-Nicolson差分，精度会在时间上也上升一阶。

另外，在期权定价中PDE有两大类，正向和倒向。传统的BS PDE就是倒向的一个典型例子，它的终值条件就是期权的payoff function。而一个倒向PDE所对应的正向PDE，它不再是期权价格满足的PDE，而是这个标的的“价格密度”所满足的PDE。这个“价格密度”被称为State price，或者Arrow Debreu price，抑或是Green function。而这个在我之前的一篇文章有介绍过

Arrow Debreu price与快速拟合

而PDE方法的缺点主要有两点：路径依赖问题，高维度问题。很多路径依赖问题的PDE形式是很麻烦，甚至无法表达的，比如亚氏期权，比如回望期权。而对于高维度问题，如果PDE的数值方法会从平面网格上升到空间网格，在复杂度上不但繁琐，而且在边值条件上更难以控制。而PDE的优点则是速度快，而且根据差分的数值方法，在计算Greeks的时候不需要加以再次的bumping计算。举个例子，如果不降维，一个具有两个assets的期权的有限差分就是这样的一个立方网格：

4）蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法是目前应用范围最广泛的方法了。因为不存在提前行权属性的期权价格其实就是一个期望，所以我们就可以通过模拟很多的路径，来用平均数估计真实期望。而美式或百慕大这种具有提前行权属性的期权，它的期权价格其实是一个随机优化问题。这类问题我们可以采用regression-based Monte Carlo，也就是最小二乘蒙特卡洛，利用regression来估计conditional NPV，然后再用蒙特卡洛求解当前价值。

所以说，蒙特卡洛方法是最为general的方法了。然而，蒙特卡洛的缺点也是显而易见：因为要模拟上百万条路径，而且对于奇异期权还要做路径上的计算，美式更要做回归，蒙特卡洛方法成为了计算时间长的代名词。但幸运的是，我们有三种提速的方法：1，利用方差缩减，在保证方差恒定的基础上，可以减少模拟路径；2，利用Multi-level 蒙特卡洛，减少complexity；3，利用GPU或超级计算机，进行并行计算。

对于普通蒙特卡洛方法，上述三种方法都是可行的，而且GPU的提速是非常显著的。对于方差缩减，得强调一点的就是，一般而言，最简单的方式是对偶变量，其次是控制变量，然后是利用条件期望，最难的是importance sampling，而在效果和适用范围上，它们的排序往往是刚好相反的。比如美式期权的最小二乘蒙特卡洛，方差缩减的最有效手法就是important sampling，其他方法的效果很小。

这里另外再着重强调一下最小二乘蒙特卡洛。最小二乘蒙特卡洛的流程大致如下：首先，正向模拟标的路径；其次，倒向在每个时间节点，对所有路径值进行回归，估算条件期望，直到初始时间点；最后，求平均。所以值得注意的一点就是，在这里，如果单纯使用GPU cluster进行提速，效果并不是很理想，因为路径模拟并不是最消耗时间的步骤，对所有路径回归才是。虽然如此，但其实还是可以用GPU cluster来对回归精度加以提升，比如可以将路径进行归类，然后将global regressor转换成多个local regressor。

总的来说，蒙特卡洛方法是期权定价中适用范围最广的数值方法，但也是最慢的方法。然而，我们可以利用方差缩减、复杂度缩减，以及GPU计算来优化我们的蒙特卡洛算法，达到提速与增加精确性的目的。

5）傅立叶方法

傅立叶方法也被称为特征函数法，利用的就是对于很多的模型，它们的特征函数往往是显式表达的，比如靠具有independent increment的infinitely divisible process来决定的模型，因为在这样的情况下，我们有Levy-Khintchine representation，很多拟合性质很好的过程，比如Variance Gamma，Normal Inverse Gaussian都属于这一类。而特征函数实际上可以看作是一个随机变量的傅立叶变换，这也就是这个名字的由来。

如果我们有显式表达的特征函数，我们可以通过傅立叶逆变换来得到原随机变量的密度，进而达到求解期权价格的目的。一般来讲，这样的方法要比PDE方法更加快速，因为数值积分的速度要比微分方程数值解的速度要快。然而，这类方法的缺陷也是显而易见的，路径依赖性和维度问题，以及我们必须要有显式表达的特征函数。

总结：

在这里，我们只讲一些面上的东西。具体深入的东西，我会在公众号：衍生财经上详谈。

如何进行期权定价与交易

期权如何定价?期权定价方法期权在商业上有很长的历史.因为它是控制风险、以最小费用锁住资派的最好机制。有史料记载的最早的期权交易是古希腊哲学家秦勒斯(Thalea）生于公元前555年前后，提出万物皆由水构成进行的.据说，有人笑秦勒斯，说哲学家一无所用，泰勒斯回应了挑战。在冬季，泰勒斯运用自已的气象学知识顶侧到来年的春天将会出现橄榄大丰收.于是.他与农户进行协商.得到了在来年的春天以固定的价格使用榨油机的权利.果然.到了赛天橄悦的丰收使得榨油机供不应求.泰勒斯行使自己的权利，再将榨油机的使用权以更高的价格出租给其他的农户，从中赚取了可观的利润。

期权如何定价另一个经典的例子发生在公元1600年前后，与荷兰的郁金香热有关.郁金香因其它而获奖，这引起了大鱼的投机.价格大涨。种植者购买看跌期权以确保球的价格.交易商则采用看涨期权以确保未来价格.由于市场没有任何规范.导致最后1636年的崩溃.给期权留下了一个极坏的名声。

期权定价理论？期权定价理论有什么作用？

期权定价理论？市场上的期权定价理论目前主要有4种模式，分别是持有成本理论、预期理论、有效市场假说和行为金融学。持有成本理论是利用期货与现货的套利关系发展出来的定价模式，持有成本理论解释了现货与期货市场之间的价格关系；在预期理论下，由于没有人知道未来商品价格的走向，所以可以利用定价的模型来概括出商品理论的价格；有效市场假说理论是指在一个证券市场中，价格完全反映了所有可以获得的信息，这样的市场是有效的市场；行为金融学理论认为，证券市场价格在很大程度上受投资者行为影响，投资者的心理与行为对证券市场的价格起着决定的影响。期权定价理论的作用有4方面，第一，期权定价理论可以用于对债务的优先级和赎回等进行安排；第二，期权定价的方法对于在风险确认、产品定价和风险管理控制等方面非常有用；第三，期权定价理论可以评估资本的运行期权和实物期权，这也是传统的资本预算不能够解决的问题；第四，期权定价理论为项目的预算提供了适当的定量性的评估方法。

期权定价是什么?

期权定价模型(OPM)----由布莱克与斯科尔斯在20世纪70年代提出。该模型认为，只有股价的当前值与未来的预测有关;变量过去的历史与演变方式与未来的预测不相关。模型表明，期权价格的决定非常复杂，合约期限、股票现价、无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权价格。

定价方法：

(1)Black-Scholes公式

(2)二项式定价方法

(3)风险中性定价方法

(4)鞅定价方法等

历史：

期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。第一个完整的期权定价模型由Fisher Black和Myron Scholes创立并于1973年公之于世。B-S期权定价模型发表的时间和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化期权合约几乎是同时。不久，德克萨斯仪器公司就推出了装有根据这一模型计算期权价值程序的计算器。大多从事期权交易的经纪人都持有各家公司出品的此类计算机，利用按照这一模型开发的程序对交易估价。这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。

1979年，科克斯(Cox)、罗斯(Ross)和卢宾斯坦(Rubinstein)的论文《期权定价:一种简化方法》提出了二项式模型(Binomial Model)，该模型建立了期权定价数值法的基础，解决了美式期权定价的问题。

频道。

环球青藤友情提示:以上就是[ 期权定价是什么? ]问题的解答,希望能够帮助到大家！

期权定价是什么意思？

期权定价，内含价值，也称内在价值，是期权持有人因通过行权获得股票而不是直接购买股票而实现的收益。

内含价值，也称内在价值，是期权持有人因通过行权获得股票而不是直接购买股票而实现的收益。例如，允许雇员以每股￥100的人生购买价格￥300股票的期权，每份期权的内含价值为￥200。规定行权价等于或者超过股票市价的期权，其内含价值为0。

期权具有时间价值的原因是，期权持有人在行权以前不必支付行权价款。随着时间的推移，股票市价可能升高，从而产生额外的内含价值。只要在到期前，所有期权都具有时间价值。在风险系数等其他条件相同时，距到期时间越长，时间价值越大。时间价值根据其形成原因两个构成要素：货币时间价值和波动价值。比如在到期前，上面描述的内含价值为￥200的期权可能其公允价值为280。差额￥80代表了期权的时间价值。

波动价值代表了期权持有者从期权对应股票的市价增值中获得利润，或者同时最多损失期权价值而不是损失股票的全部市价的可能性。例如：股票的波动是指以前的或者是预计未来股票价格波动的金额。一般来说，股票的波动性越大，潜在收益就越大，即风险奖励(riskreward)。股票的波动通常是按照统计分布的标准差计量的。从统计角度看，如果预计第年的波动为25%，年末股价将会比年初股价上下变动25%的可能性大约为67%。也就是说，年末股价变动超出这个范围的可能性大约为33%。期权定价模型通过考虑预计股价的波动来假设未来股价的统计分布，由此估计未来股价的各种可能性。比如布莱克-斯科尔斯模型会假设股价服从对数正态分布。该假设认为股价的小幅波动比大幅波动可能性更大。股票波动性越大，市价具有较大增加幅度的可能性越高。因为大幅下跌的成本受到股票期权现行价值的限制，但股价大幅上升带来的利润却是无限的。大幅波动的股票上的期权比波动小的股票上的期权更可能带来更大的利润。

本条内容来源于：中国法律出版社《新编金融法小全书（第五版）》